Элементы комбинаторики

Сочетания с повторениями

Сочетаниями с повторениями называются наборы по M элементов, в которых каждый элемент множества N может участвовать несколько раз. При этом на соотношение значений M и N не накладывается никаких ограничений, а общее количество сочетаний с повторениями составляет

Примером такой задачи может служить выбор M открыток из N всеми возможными способами.

Для генерации сочетаний с повторениями воспользуемся решением для генерации размещений с повторениями, рассмотренным .Реализация на С++

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041

#include <iostream>using namespace std;bool NextSet(int *a, int n, int m){  int j = m — 1;  while (a == n && j >= 0) j—;  if (j < 0) return false;  if (a >= n)    j—;  a++;  if (j == m — 1) return true;  for (int k = j + 1; k < m; k++)    a = a;  return true;}void Print(int *a, int n) {  static int num = 1;  cout.width(3);  cout << num++ << «: «;  for (int i = 0; i < n; i++)    cout << a << » «;  cout << endl;}int main() {  int n, m, *a;  cout << «N = «;  cin >> n;  cout << «M = «;  cin >> m;  int h = n > m ? n : m; // размер массива а выбирается как max(n,m)  a = new int;  for (int i = 0; i < h; i++)    a = 1;  Print(a, m);  while (NextSet(a, n, m))    Print(a, m);  cin.get(); cin.get();  return 0;}

Результат работы приведенного выше алгоритма:

Алгоритмизация

Сочетания без повторений

Задача: Найти все возможные сочетания без повторений из множества элементов {1,2,3} по 2.
Существуют следующие сочетания:1: 1 22: 1 33: 2 3
Количество возможных сочетаний без повторений из N элементов по M можно определить по формуле (N≥M):

что в M! раз меньше соответствующего количества размещений без повторений (поскольку сочетания без повторений не зависят от порядка следования элементов).
Рассмотрим задачу получения всех сочетаний для чисел 1…N по M.Реализация на С++

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243

#include <iostream>using namespace std;bool NextSet(int *a, int n, int m){  int k = m;  for (int i = k — 1; i >= 0; —i)    if (a < n — k + i + 1)     {      ++a;      for (int j = i + 1; j < k; ++j)        a = a + 1;      return true;    }  return false;}void Print(int *a, int n) {  static int num = 1;   cout.width(3);  cout << num++ << «: «;  for (int i = 0; i < n; i++)    cout << a << » «;  cout << endl;}int main() {  int n, m, *a;  cout << «N = «;  cin >> n;  cout << «M = «;  cin >> m;  a = new int;  for (int i = 0; i < n; i++)    a = i + 1;  Print(a, m);  if (n >= m)  {    while (NextSet(a, n, m))      Print(a, m);  }  cin.get(); cin.get();  return 0;}

Результат выполнения 

Криптографическая зашита генератора случайных данных в Python

Случайно сгенерированные числа и данные, полученные при помощи модуля random в Python, лишены криптографической защиты. Следовательно, возникает вопрос — как добиться надежной генерации случайных чисел?

Криптографически надежный генератор псевдослучайных чисел представляет собой генератор чисел, который обладает особенностями, что делают его подходящим для использования в криптографических приложениях, где безопасность данных имеет первостепенное значение.

• Все функции криптографически надежного генератора возвращают полученные случайным образом байты;
• Значение случайных байтов, полученных в результате использования функции, зависит от источников ОС.
• Качество генерации также зависит от случайных источников ОС.

Для обеспечения криптографической надежности генерации случайных чисел можно использовать следующие подходы:

• Применение модуля secrets для защиты случайных данных;
• Использование из модуля os ;
• Использование класса .

Пример криптографически надежной генерации данных в Python:

Python

import random
import secrets

number = random.SystemRandom().random()
print(«Надежное число «, number)

print(«Надежный токен байтов», secrets.token_bytes(16))

Вывод:

Shell

Надежное число 0.11139538267693572

Надежный токен байтов b’\xae\xa0\x91*.\xb6\xa1\x05=\xf7+>\r;Y\xc3′